报考博士生(工科专业)“数值分析”课考试复习指南

一、复习参考书

《应用数值分析》文世鹏主编 石油工业出版社 1999.9

书中共十一章，除去第一章和第十一章以外，从第二章—第十章，以及各章所附习题，均属于考试复习范围。

二、复习内容提要。复习内容可分为以下五部分：

基础部分：第一章作为数值分析基础不属于考试要求范围，但只要求知道如何在内积空间中构造正交多项式。熟悉Gauss变换、Householder变换、Givens变换及其性质、作用和具体计算。矩阵的三角分解、正交分解的原理及计算。（奇异值分解可以去掉）。要熟悉掌握数值分析中几种基本运算：矩阵的初等变换，求矩阵的秩，低价可逆阵求逆，运用线性方程组的解判断向量组的线性相关或线性无关，求齐次线性方程组的基础解系，用矩阵的特征方程det(λI—A)=0求低阶矩阵的特征值和特征向量。对换阵，倍乘阵，消元阵(即Gauss变换阵)的构造及对向量和矩阵的作用。计算向量范数‖x‖p(P=1，2，∞)和矩阵范数‖A‖p(P=1，∞，F)及矩阵条件数cond(A)p(P=1，2，∞)。

线代方程组求解：用各种矩阵分解求解线代方程组的直接法，方法的原理及计算，解的误差分析及解的精度改进。矩阵的条件数及病态方程组。用迭代法求解线代方程组，迭代格式的建立及收敛性分析。最速下降法及共轭斜量法作为变分法，要求掌握将求解线性方程组转化为等价的求一个二次函数极小化问题的原理及具体计算格式。(第五章中第5节和第6节预条件共轭斜量法和Lancgos迭代法，不属于考试范围，可以去掉)。最小二乘问题只要求满秩线性最小二乘问题的数值方法。非线性最小二乘问题可以去掉。

非线性问题：非线性方程求根和非线性方程组求解的迭带法及基本原理。重点是Newton型算法及其改进。

数值逼近部分：函数插值中两种基本代数插值，插值基函数的构造，差商和差分，插值误差的估计，带导数的Hermite推值，两点三次Hmerite换值多项式，样条插值，分段三次样条函数的构造(三弯矩方程和三转角方程)。函数逼近只要求内积空间中的最佳平方逼近，包括对离散数据和对连续函数的最佳平方逼近。用关于点集的正交函数组和正交多项式构造最佳平方逼近元。Legendre多项式和Chebyshev多项式的应用。数值积分，Newton-Cotes求积公式及外推方法，Gauss型求积公式的一般原理，代数精度和高斯点，构造Gauss型求积公式的三种方法。数值微分的基本方法。

代数特征值问题：矩阵特征值的估计，Gerschgorin园盘。两类求矩阵特征值的方法，即迭代法和相似变换法，迭代法的加速及逆迭代求特征向量，QR方法的原理，求实对称阵特征值的原理。(Lancgos方法求征值问题可以去掉。)

三、考试要求

书面答卷，闭卷考试，自带个人用计算器。(试题不涉及程序和算法编码，也不要求做大型、过于复杂和冗长的计算。)

石油大学(北京)研招办

基础科学系数学教研室

1999年11月